Soient un triangle \(\triangle ABC\) isocèle en \(C\) et un point \(P\in(AB)\)
Déterminer a longueur de la hauteur \(AH\) en fonction des distances \(PK\) et \(PL\) de \(P\) à \((CA)\) et \((CB)\) respectivement
(indication : discuter selon les positions de \(P\) par rapport aux points \(A\) et \(B\))

Cas triviaux
\(P\in A\implies PL=AH\)
\(P\in B\implies PK=AH\)

1er cas : \(P\in[AB]\) : schéma

Angles connus et triangles semblables
On sait que \(\widehat{ABC}=\widehat{CAB}\)
On a les triangles semblables (rectangles avec un angle aigu commun) \((BLP)\), \((BHA)\) et \((AKP)\)

Plein d'angles droits \(\to\) intéressant d'utiliser la trigonométrie
$$\begin{align} AH&=AB\sin(\widehat{PLB})\\ &=(AP+PB)\sin(\widehat{PLB})\\ &=AP\sin(\widehat{PLB})+PB\sin(\widehat{PLB)}\\ &=PK + PL\end{align}$$

2e cas : \(P\in\,]AP[\) : schéma

On recommence
Cette fois ci, $$\begin{align} AH&=AB\sin(\widehat{PLB})\\ &=(AP-BP)\sin(\widehat{PLB})\\ &=PK-PL\end{align}$$

Idem pour le dernier cas

Par symétrie, on a pour le dernier cas \(PK-PL\)

Soit \(L\) le pied de la bissectrice issue de \(A\) dans un triangle \(\triangle ABC\) (i.e. Le point d'intersection de cette bissectrice et du côté opposé \([BC]\))

1. Montrer l'égalité de rapports \(AB:AC=LB:LC\)
2. Montrer que la bissectrice \(AL\) coupe le cercle circonscrit en un point \(P\) qui est la médiatrice de \([BC]\)
3. Montrer que \(AL^2=AB\times AC-LB\times LC\)

Schéma

Al Kashi
1° : on a par Al Kashi $$\begin{align}\frac{CL}{LA}&=\frac{\sin(\widehat{CAL})}{\sin(\widehat{CLA})}\\ \frac{BL}{BA}&=\frac{\sin(\widehat{BAL})}{\sin(\widehat{BLA})}\end{align}$$

Égalité d'angles
4i: 2°
Or \(\widehat{CAL}=\widehat{BAL}\)
Donc \(\widehat{CLA}+\widehat{BLA}=\pi\) \(\Rightarrow\) même sinus
Par conséquent $$\frac{CL}{CA}=\frac{BL}{BA}\implies\frac{AB}{AC}=\frac{LB}{LC}$$

Tracé du cercle circonscrit

Égalités d'angles
Il faut montrer que \(PB=PC\)
\(\iff\widehat{PBC}=\widehat{PCB}\) (triangle isocèle)
Arc capable : \(\widehat{CAP}=\widehat{CBP}\)
\(\widehat{PCB}=\widehat{PAB}\)
Or \(\widehat{CAP}=\widehat{PAB}\)
Donc \(\widehat{CBP}=\widehat{PCB}\)

Égalités d'angles
3° : si on note \(\frac\alpha

=\widehat{CAL}=\widehat{LAB}\) et \(\beta:=\widehat{ABC}\), alors on a \(\widehat{ACB}=\pi-\alpha-\beta\), \(\widehat{ALB}=\pi-\frac\alpha2-\beta\) et \(\widehat{BL}=\frac\alpha2+\beta\)

Règle des sinus
Par Al Kashi : $$\begin{align}\text{sur }(ABL)&:\frac{AL}{\sin\beta}=\frac{LB}{\sin(\alpha/2)}=\frac{AB}{\sin(\alpha/2+\beta)}\\ \text{sur }(ACL)&:\frac{AL}{\sin(\alpha+\beta)}=\frac{LC}{\sin(\alpha/2)}=\frac{CA}{\sin(\alpha/2+\beta)}\end{align}$$ et donc $$\begin{align} AB.AC-LB.LC&=\frac{\sin^2(\alpha/2+\beta)}{\sin\beta\sin(\alpha+\beta)}AL^2-\frac{\sin^2(\alpha/2)}{\sin\beta\sin(\alpha+\beta)}AL^2\\ &=AL^2\frac{\sin^2(\alpha/2+\beta)-\sin^2(\alpha/2)}{\sin\beta\sin(\alpha+\beta)}\end{align}$$

Vérification de la proportionnalité

Il suffit donc de vérifier $$\sin^2(\alpha/2+\beta)-\sin^2(\alpha/2)\equiv\sin\beta\sin(\alpha+\beta)$$

• clair si \(\beta=0\)
• sinon, dériver selon \(\beta\) : $$2\sin(\alpha/2+\beta)\cos(\alpha/2+\beta)\equiv\cos\beta\sin(\alpha+\beta)+\sin\beta\cos(\alpha+\beta)$$ (vrai \(\forall\alpha,\beta\) : les deux fonctions ont la même dérivée et ont une valeur en commun, donc elles sont toujours égales)

La longueur de la grande base d'un trapèze est \(97\)
La longueur du segment joignant les milieux des deux diagonales est \(3\)
Trouver la longueur de la petite base

Schéma

Par opérations sur les vecteurs

$$\begin{align}&F=\frac{D+B}{2}\quad\text{ et }\quad E=\frac{A+C}2\\ \implies &D=2F-B\quad\text{ et }\quad C=2E-A\\ \implies&\overrightarrow{CD}=\vec D-\vec C=2\vec E-\vec A-2\vec F+\vec B\\ &\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{AB}\\ \implies&CD=91&\text{car les vecteurs sont colinéaires}\end{align}$$